Il modulo elastico dinamico

La previsione del campo di sollecitazioni pertinenti l’analisi di problemi ciclici e dinamici richiede approcci rigorosamente diversi da quelli statici, visti nella prima parte dell’articolo, e sulla scorta del fattore tempo quale parametro discriminante. In effetti, se nel caso di carichi monotonicamente crescenti il tempo può assumere la connotazione delle ore, per i carichi ciclici e dinamici lo stesso è quantificabile in minuti e secondi, quindi in frazioni di tempo piuttosto ristrette caratterizzate, però, da deformazioni plastiche cumulate non reversibili dipendenti principalmente dall’entità e dalla direzione delle tensioni di taglio indotte (Di Francesco R., 2008). 

  Figura 3. Schematizzazione dei campi di deformazione cicliche e dinamiche e non linearità della relazione sforzi-deformazioni (estratta da: Lanzo & Silvestri, 1999).

In sintesi, e con l’ausilio della figura 3, il legame sforzi-deformazioni appare nuovamente marcatamente non lineare, non reversibile e fortemente dipendente dalla storia tensionale pregressa, conducendo all’individuazione:

1. del campo delle piccole deformazioni (0.0001% ¸0.001%);
2. del campo delle medie deformazioni (0.001% ¸0.01%);
3. del campo delle grandi deformazioni (0.01% ¸1%).

Senza entrare nei dettagli, per i quali si rimanda a Lanzo & Silvestri (1999) e a Di Francesco R. (2008), possono essere dedotti alcuni elementi utili per la definizione dei parametri elastici in campo dinamico:

1. il comportamento elastico è ancora descrivibile mediante il modulo elastico longitudinale, il coefficiente di Poisson ed il modulo elastico tangenziale relativi alla propagazione di impulsi ovvero a sollecitazioni tempo-dipendenti;
2. la linearità del legame elastico è valida solo nel campo delle piccole deformazioni;
3. il range delle deformazioni dinamiche è molto inferiore a quello tipico delle prove statiche, come dimostra la figura 4 relativa ad una prova triassiale consolidata drenata.

Figura 4. Risultati di una prova triassiale consolidata drenata (TRX-CD).
 

Nello specifico, si dimostra essere valide le seguenti equazioni:

 con i pedici “d” che denotano, per l’appunto, il termine dinamico ed essendo "ro" la densità del materiale.
Le equazioni (7), (8) e (9) indicano la strada per determinare i parametri elastici dinamici a partire dalla misurazione della velocità di propagazione delle onde di compressione (V_P) e di taglio (V_S); nel contempo, le stesse denotano l’inesistenza di correlazioni dirette tra i parametri elastici statici e dinamici se non riconducendo l’argomento alla definizione dei relativi campi di deformazioni utilizzando il concetto stesso di moti vibratori.

In effetti, e tralasciando i dettagli, è noto che lo studio dei moti vibratori è fondato sull’analisi dell’oscillatore armonico semplice una cui soluzione è:

per i cui dettagli si rimanda ad altri articoli nel sito (es. Fondazioni di macchine vibranti). Poiché u(t) rappresenta lo spostamento, la sua derivazione conduce alla determinazione della velocità:

e dell’accelerazione:

Di conseguenza, e ricordando il teorema fondamentale dell’Analisi, dalla misura della velocità o dell’accelerazione di un moto vibratorio è possibile risalire allo spostamento mediante l’integrazione e la doppia integrazione; infine, confrontando gli spostamenti tipici dei moti vibratori, come nel caso delle prove soniche nei calcestruzzi o delle prospezioni sismiche nei terreni, si scopre che gli spostamenti appartengono alla parte iniziale delle curve sforzi-deformazioni (piccole) del tipo illustrate nelle figure 1, 2 e 4.

   Figura 5. Relazioni tra modulo elastico statico e dinamico.

 Concludendo, e volendo cercare la relazione corrente tra il modulo elastico longitudinale statico e dinamico, occorre analizzare nuovamente la classica curva sforzi-deformazioni desunta da una prova di compressione statica su campione cilindrico; quindi, nel caso rappresentato in figura 5 risulta che per deformazioni limitate ad esempio all’1%, per le quali si suppone ancora valere il campo elastico, la pendenza della retta secante conduce ad un valore E = 17.600 kPa; contestualmente, poiché il campo dinamico appartiene a valori delle deformazioni molto inferiore a tale limite (figura 3 – generalmente inferiore allo 0.01%), risulta necessario esplorare il valore di E_d in un ambito molto ristretto della curva (cerchio di figura 5) che evidenzia una pendenza iniziale molto maggiore del caso precedente (E_d = 190.000 kpa).
In definitiva, non esiste alcuna relazione tra i moduli elastici statici e dinamici, in quanto, pur appartenendo alla medesima curva sforzi-deformazioni, dipendono da valori delle deformazioni molto diversi tra loro, tipicamente dell’ordine dello 0.0001-0.01% in campo dinamico e dell’1-2% in campo statico.

Per i dettagli fisico-matematici e fenomenologici si rimanda MECCANICA DELLE STRUTTURE GEOLOGICHE E GEOTECNICHE
 
Bibliografia completa
Di Francesco R. (2008), Lesioni degli edifici. Ulrico Hoepli Editore, Milano.
Di Francesco R. (2010), Geotecnica: guida pratica alla luce delle nuove NTC. Dario Flaccovio Editore, Palermo.
Ghersi A. (2005), Il cemento armato: le basi della progettazione strutturale esposte in maniera semplice ma rigorosa. Dario Flaccovio Editore, Palermo.
Lanzo G., Silvestri F. (1999), Risposta sismica locale. Hevelius Edizioni, Benevento.
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