Nel libro Analisi geotecniche di fondazioni superficiali e pali ho inserito anche una trattazione matematica relativa all’analisi ad elementi finiti delle travi di fondazione su suolo alla Winkler. Sono partito dal modello della molla semplice connessa in serie e dal modello della trave di Eulero; quindi ho unito i due modelli per ottenere la risposta delle travi dotate di incastro e vincolo elastico (molla). Infine, utilizzando tali elementi e partendo dai concetti energetici che stanno alla base del metodo degli elementi finiti, sono giunto a sviluppare un modello originale dedicato alle travi su suolo alla Winkler i cui risultati sono illustrati nella pagina dedicata al libro e in un articolo in home page.
Preciso anche che tale modello è stato succesivamente perfezionamento, essendo giunto alla sua terza generazione che sembra la più promettente, e l'ho inserito nel testo "Introduzione al metodo degli elementi finiti"; i risultati, basati su vari test eseguiti da diversi gruppi di ingegneri (ognuno con il prorpio software strutturale), forniscono un’elevata congruenza con quelli ottenuti con programmi ad elementi finiti tanto che ho esteso proficuamente il modello all'analisi:
- delle travi di fondazione su suolo alla Winkler
- dei pali di fondazione su suolo alla Winkler
- delle paratie interagenti con suolo alla Winkler, sia a mensola che tirantate
Il foglio di calcolo si compone di tre pagine:
- la pagina di inserimento dati illustrata nella figura sopra (Dati generali)
- la pagina relativa all’assemblaggio della matrice di rigidezza (Matrice di rigidezza)
- la pagina dei calcoli (Soluzione del sistema).
Nella prima pagina, utilizzando come guida la figura in alto, devono essere inseriti i seguenti dati relativi ad un sistema a 2 aste e 3 nodi:
- la larghezza (B) e l’altezza della trave (H)
- la lunghezza delle singole aste (L1e L2)
- il modulo elastico del materiale
- la rigidezza della molla
- le sollecitazioni nodali in termini di forze verticali (V) e momenti flettenti (M)
- gli eventuali carichi distribuiti
Notare che il foglio di calcolo trasforma questi ultimi in sollecitazioni nodali equivalenti, secondo la tecnica di analisi ad elementi finiti, sommandoli poi alle sollecitazioni nodali di progetto. A tal proposito voglio evidenziare che il modello calcola automaticamente il peso della trave e lo somma alle sollecitazioni nodali. Per cui, qualora le condizioni di carico inserite considerano tale peso, occorre inserire un valore nullo nella casella relativa al peso di volume del materiale.
Infine, una volta assemblata la matrice di rigidezza del sistema, il foglio risolve il sistema matriciale fornendo (figura in basso):
- gli spostamenti e le rotazioni nodali
- le reazioni vincolari all’incastro ed al vincolo elastico
- il grafico degli spostamenti lungo l’intera trave
Ovviamente, una volta noti tutti gli elementi, può anche essere determinato l’andamento del taglio e del momento lungo l’intera trave. Ma questo lo lascio fare agli utenti.
Un'ultima nota: il foglio è stato realizzato con una versione aggiornata di excel salvata in una versione precedente.
ANALISI FEM DI TRAVI SU VINCOLO ELASTICO
