Il metodo degli elementi finiti negli esami universitari

Articolo scritto a quattro mani con l'Ingegnere strutturista Piergiuseppe Lenzi iscritto al sito.
Il metodo numerico degli elementi finiti (Fem) ha oggigiorno assunto un ruolo imprescindibile nella progettazione strutturale agli stati limiti previsti dalle NTC 2008, richiedendo specifiche competenze al fine di poter correttamente gestire i risultati offerti dai moderni software di progettazione strutturale senza dover incorrere nell'accettazione acritica degli stessi. Seguendo tali esigenze nel 2012 e' stato pubblicato il testo Introduzione al metodo degli elementi finiti, al cui interno sono delineate tutte le tecniche che sottendono il Fem oltre ad essere illustrati nuovi modelli numerici relativi all'analisi dell'interazione delle principali strutture geotecniche (travi rovesce, pali e paratie) con il suolo alla Winkler; inoltre lo stesso e' stato corredato da fogli di calcolo Excel che consentono di svolgere analisi ad elementi finiti relativi a tali modelli fornendo, nel contempo, un'ulteriore linea guida nella stesura di modelli di calcolo personalizzati.

Con il presente articolo si vuole dimostrare l'utilita' del metodo degli elementi finiti anche in ambiente educational analizzando l'esercizio di Meccanica Computazionale illustrato in figura 1.

Nella soluzione del problema e' stata adottata una procedura di snellimento dell'analisi, preferendo l'utilizzo dei modelli di calcolo presenti nei fogli Excel a corredo del libro piuttosto che l'assemblaggio della matrice di rigidezza globale relativa all'intero schema strutturale; quindi, poiche' i fogli di calcolo Excel analizzano separatamente le travi dai pilastri (ovvero le travi rovesce dai pali, dai quali possono essere immediatamente derivati le travi e i pilastri per costanti di Winkler nulle) lo schema strutturale e' stato disaccoppiato sostituendo il nodo 5 trave-pilastro:

Trave: una prima volta con un vincolo esterno ad incastro, pur nella consapevolezza che in tal modo l'elemento strutturale risulta irrigidito e fornisce un momento flettente interno maggiorato che si riflette sul comportamento del pilastro;
Trave: una seconda volta con una molla flessionale (agente lungo la direzione assiale del pilastro ed avente rigidezza K_h = EA/L per i motivi esposti nel testo) ed una molla torsionale (avente rigidezza K_t = GI/L), nella consapevolezza che in tal modo il momento flettente sara'Â sottovalutato;
Pilastro: con una molla flessionale capace di consentire lo spostamento del nodo unitamente all'accorciamento elastico verticale dell'elemento strutturale.

D'altra parte, sia sufficiente riflettere su quanto affermato da Schodek D. L. (Structures, Prentice Hall, New Jersey, 2001) secondo il quale: Poiche' hanno luogo delle rotazioni, sebbene il giunto non ruoti liberamente, le effettive condizioni alle estremita' si trovano in una condizione intermedia fra i collegamenti incernierati e quelli di puro incastro.

I risultati, sintetizzati nelle figure 2 e 3, mostrano l'affidabilita' del modello nel prevedere il comportamento della struttura iperstatica considerando che il vincolo interno al nodo 5 ha consentito - in entrambi i casi - la rotazione pur mantenendo inalterato l'angolo iniziale tra la trave e il pilastro; resta soltanto il problema dei reali valori numerici relativi alle reazioni vincolari ed agli spostamenti nelle due direzioni.
Quale passaggio finale, lo stesso schema strutturale e' stato analizzato globalmente con il software di progettazione strutturale SAP2000 (http://www.csi-italia.eu/software/sap2000 ) i cui risultati sono sintetizzati nella figura 4.

Infine, dal confronto tra le figure 2/3 e 4 si scopre, in linea con le affermazioni di Schodek, che:

in termini di deformata della trave risulta piu'Â attendibile il modello con le molle flessionali e torsionali in sostituzione del nodo trave-pilastro;
in termini di deformata del pilastro e'Â invece piu'attendibile il modello con l'incastro al quale compete un momento interno superiore rispetto al caso precedente.

In ogni caso, utilizzando i metodi di analisi illustrati nel testo Introduzione al metodo degli elementi finiti, e'Â pur sempre possibile assemblare il modello generale dell'intero schema strutturale la cui soluzione e' ottenibile anche con semplici fogli di calcolo Excel - condurrebbe agli stessi risultati ottenuti dai software di progettazione. A tal proposito, la figura 4 illustra le dimensioni della matrice di rigidezza del solo pilastro assemblata per il caso di figura 2 che nel caso del sistema globale dovrebbe essere connessa alla matrice di rigidezza della trave.

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